|
|
发表于 2012-10-31 00:06:01
|
显示全部楼层
(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)
x²+ax+bx+ab+cx-10c=x²-11x+x-11
(a+b+c)x+ab-10c=-10x-11
a+b+c=-10→a+b=-10-c
ab-10c=-11→ab=10c-11
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab=x²+(-10-c)x+10c-11
把上面的等式等于零则得x=-a,-b=【10+c±√[(-10-c)²+4(10c-11)]】/2
-a,-b,10,c,2都是整数，所以√[(-10-c)²+4(10c-11)]必须是整数，所以(-10-c)²+4(10c-11)是整数的平方
(-10-c)²+4(10c-11)=c²-20c+144
到这里为止，一下子能看得出来的解是c²-20c=0,→c=0，20.
但是，我们不能排除c²-20c+144 是其他完全平方数的可能，所以继续
c²-20c=n 这里n要满足144+n是完全平方数，以及c是整数
c²-20c-n=0,c=[20±√(400+4n)]/2
400+4n是完全平方数→100+n是完全平方数，加上上面提到的144+n也是完全平方数
设100+n=p²
144+n=q²
q²-p²=44
(q+p)(q-p)=44=2*22=1*44=4*11，再无其他可能（负数的情况，因为和正整数的情况一样，不做表述）
而只有2*22满足qp均为整数的前提，得出q=12，p=10，则n=0→c²-20c=0.满足条件的只有这一种第一眼看出的可能。为最终解。
|
|
楼主: 独自徘徊
狗仔卡
显身卡
楼主